12.1 Eigenschaften von Quantenobjekten

Zunächst haben den aus der 10. Jahrgangsstufe bekannten Welle-Teilchen-Dualismus bei Licht wiederholt.

Das Interferenzmuster, welches sich ergibt, wenn man (Laser-)Licht durch einen Doppelspalt schickt, lässt sich mit dem Wellencharakter von Licht erklären.

 

Beim Photoeffekt, für dessen Deutung Einstein 1921 den Nobelpreis erhielt, zeigt sich der Teilchencharakter von Licht.

Die Lichtteilchen, Photonen, haben abhängig von ihrer Frequenz (Wellenlänge, Farbe) eine bestimmte Energie. Diese ist entweder ausreichend oder nicht um Photoelektronen aus dem Kathodenmaterial zu lösen. Die Energie wird somit gequantelt übertragen, weshalb Max Planck das Plancksche Wirkungsquantum einführte.

 

Im Bohrschen Atommodell haben die Elektronen bestimmte Energien; sie können Energien gequantelt aufnehmen oder abgeben. Dabei sollen die Elektronen in Abhängigkeit ihrer Energie mit einem zugehörigen Radius um den Kern kreisen.

Der Physiker de-Broglie hatte die Idee, dass auch Teilchen einen Wellencharakter haben können. Er ordnete ihnen in Abhängigkeit ihres Impulses eine Wellenlänge, die de-Broglie-Wellenlänge, \( \lambda = \frac{h}{p} \) zu.

Wenn man die gebundenen Elektronen eines Atoms als stehende Welle auffasst (die Kreisbahn muss ein ganzzahliges Vielfaches von \( \frac{\lambda}{2} \) sein), dann hat man nicht mehr das Problem von Bohr, erklären zu müssen, warum das Elektron auf seiner Kreisbahn keine Energie abstrahlt und in den Kern stürzt.

Wenn nun also auch Teilchen wie Elektronen Wellencharakter haben, dann müsste sich der Wellencharakter dieser Quantenobjekte in Interferenzversuchen nachweisen lassen.

Somit kann man Quantenobjekten eine Wellenfunktion zuordnen. Gebundene Elektronen haben als stehende Welle eine feste Frequenz; freie Elektronen kann man sich als Wellenpakete vorstellen, die sich durch Überlagerung von unendlich vielen Wellenfunktionen mit einem gewissen Frequenzbereich ergeben.

Max Born erkannte, dass man mithilfe der Wellenfunktion \( \Psi \) die Wahrscheinlichkeit \( P(x) \), das Teilchen am Ort \( x \) zu finden, bestimmen kann:

\( P(x) = | \Psi (x) | ^2 \)

Der Physiker Werner Heisenberg fand heraus, dass sich der Ort und der Impuls eines Quantenobjekts in einem Experiment nicht beliebig genau bestimmen lassen:

\( \Delta p \cdot \Delta x ≥ \frac{h}{4 \pi} \)

 

 

12.2 Ein Atommodell der Quantenphysik

Mit einem Kräfteansatz und der de-Broglie-Wellnlänge lassen sich für das Wasserstoff-Atom die Energieniveaus \( E(n) \) in Abhängigkeit von der Quantenzahl \( n \) (Kreisbahn \( U = n \cdot \frac{\lambda}{2} \) ):

\( E(n) = -\frac{1}{n^2} \cdot \frac{m_e \cdot e^4}{8h^2\epsilon_0}  = -\frac{1}{n^2} \cdot 13,6 \ eV \)

Die zugehörigen Energien von Photonen, die absorbiert oder emittiert werden, passen zum Bohrschen Atommodell. Dabei liegen die Energien, die beim Übergang von einem höheren Energie auf \(E_2\) auftreten, im sichtbaren Bereich. Sie bilden die Balmer-Serie.

Allerdings ließen sich mit dem Bohrschen Atommodell nicht alle Phänomene erklären. Genauere Untersuchungen zeigten weitere Aufspaltungen in den Linienspektren. Durch die Weiterentwicklung zum Bohr-Sommerfeld-Modell mit der Einführung weiterer Quantenzahlen sowie dem Ausschließungsprinzip von Pauli ließen sich diese erklären – zumindest für das „einfache“ Wasserstoff-Atom.

Erwin Schrödinger verfolgte einen anderen Ansatz. Er suchte nach einer Gleichung, deren Lösung die de-Broglie-Welle ist.

So, wie die Gleichung \( F = m \cdot a \) die Bestimmung der Bewegungsgleichungen \( a(t), v(t) \) und \(s(t)\) in Abhängigkeit der Kraft \(F\) ermöglicht, soll die Schrödingergleichung in Abhängigkeit vom Potential \(V\) zu einer Zustandsfunktion \(\Psi\) führen, die Aufschluss über die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Elektronen gibt:

\(-\frac{h^2}{8 \pi^2 m} \Psi^{\prime \prime}(x)+V\cdot \Psi(x) = E\cdot \Psi(x) \)

Die Grundgleichung von Schrödinger ist stark vereinfacht: eindimensional, zeitunabhängig und nicht-relativistisch.

Das Potential eines Atoms lässt sich auch stark vereinfacht auffassen: als unendlich hoher Potentialtopf.

Wenn der Potentialtopf endlich hoch ist, dann kann die Wellenfunktion leicht in die Potentialwand eindringen. Somit hat das Elektron eine gewisse Aufenthaltswahrscheinlichkeit außerhalb des Potentialtopfes, was für ein klassisches Teilchen unmöglich wäre.

Anmerkung zu den „aktuellen Quantenzahlen“:

Beim eindimensionalen Potentialtopf verwenden wir nur die Hauptquantelzahl \(n\) und nutzen den Spin von Pauli, sodass jedes Energieniveau \(E_n\) nach dem Ausschlussprinzip von zwei Elektronen besetzt werden kann.

Die beiden anderen Quantenzahlen kämen durch die zweite bzw. dritte Dimension hinzu.

 

 

Physikklausur am 12.01.2018

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