Zu Beginn wird das Ableiten noch einmal aufgegriffen.

1.1 Krümmungsverhalten und Wendepunkte von Funktionsgraphen

So, wie man mit der 1. Ableitung \(f’\) einer Funktion \(f\) das Monotonieverhalten sowie die Extrema des Graphen \(G_f\) bestimmen kann, gibt die 2. Ableitung \(f^{\prime \prime}\) Aufschluss über das Krümmungsverhalten und etwaige Wendepunkte.

Ist die zweite Ableitung positiv, also nimmt die Steigung zu, dann ist der Graph linksgekrümmt:

\( f^{\prime \prime} (x)>0 \Rightarrow G_f\) linksgekrümmt

Dementsprechend ist der Graph rechtsgekrümmt, wenn die Steigung abnimmt:

\( f^{\prime \prime} (x)<0 \Rightarrow G_f\) rechtsgekrümmt

Ein Krümmungswechsel liegt dann vor, wenn die 2. Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat:

\( f^{\prime \prime} (x)=0\) mit VZW\(^{*)} \ \Rightarrow (x/f(x))\) ist Wendepunkt

Die Bedingung für die jeweilige Krümmung passt zu den Kriterien für Extrema:

Wenn \( f'(x_E) = 0 \) und

  • \( f^{\prime \prime}(x_E) < 0 \Rightarrow \) HOP\( (x_E/f(x_E))\); ein Hochpunkt muss in einem rechtsgekrümmten Bereich liegen.
  • \( f^{\prime \prime}(x_E) > 0 \Rightarrow \) TIP\( (x_E/f(x_E))\); ein Tiefpunkt muss in einem linksgekrümmten Bereich liegen.

\(^{*)}\) Der VZW lässt sich in der Regel mit der Vielfachheit der Nullstelle begründen, was wesentlich einfacher ist als \(f^{\prime \prime \prime}(x) ≠ 0 \) nachzuweisen.

aus der Merkhilfe

 

1.2 Das bestimmte Integral bei positivwertigen Funktionen

Nachdem es bisher um das Bestimmen von Steigungen ging, wollen wir nun Flächen unterhalb von Funktionsgraphen berechnen.

Zunächst wollen wir diese Fläche durch Rechtecksflächen annähern. Bei der Streifenmethode wird die Fläche bei der Untersumme mit kleineren Rechtecksflächen sowie bei der Obersumme mit größeren Rechtecksflächen angenähert. Der gesuchte Flächeninhalt liegt zwischen den beiden angenäherten Werten. Dabei lässt sich die Annäherung verbessern, indem man die Anzahl der Streifen vergrößert (und damit die Streifenbreite verkleinert). Dadurch nähern sich die Unter- und Obersumme immer weiter an.

 

1.3 Eigenschaften des bestimmten Integrals

In diesem Kapitel lernen wir einige Grundintegrale und Integrationsregeln kennen.

Damit können wir Flächen zwischen dem Graphen \(G_f\) der Randfunktion \(f\) und der \(x\)-Achse wie folgt berechnen:

\( A = \int \limits_a^b f(x) \ dx = [F(x)]_a^b = F(b)-F(a) \)

Dabei ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion von \(f\).

bestimmtes Integral
aus der Merkhilfe

Allerdings berechnet man auf diese Weise nicht zwingend eine Fläche, sondern eine sogenannte Flächenbilanz, bei der Flächen unterhalb der \(x\)-Achse negativ gewichtet sind (vgl. Streifenmethode).

Warum man auf diese Weise Flächen(bilanzen) berechnet, weisen wir in …

 

1.4 Integralfunktion; Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

nach.

Hier zeigen wir, dass die Flächenfunktion \(F\), die die Flächenbilanz zwischen der Randfunktion \(f\) und der \(x\)-Achse angibt, die Eigenschaft \(F^{\prime} = f\) besitzen muss, also ein Stammfunktion von \(f\) sein muss.

Mit Integralfunktionen

\( F_a(x) = \int \limits_a^x f(t) \ dt \)

kann man Funktionen mittels eines Integrals darstellen.

Die integralfreie Darstellung kann man mit

\( F_a(x) = \int \limits_a^x f(t) \ dt = \overline{F } (x) – \overline{F } (a) \)

mit einer beliebigen Stammfunktion \(\overline{F}\) berechnen. Wie man hier sieht, hat eine Integralfunktion \(F_a(x)\) immer mindestens eine Nullstelle, da \(F_a(a) = \overline{F}(a) – \overline{F}(a) = 0 \) ist.

Somit handelt es sich bei der Menge der Integralfunktionen bzgl. des Integranden \(f\) um eine Teilmenge der Stammfunktionen von \(f\).

Der HDI sagt nichts anderes aus, als dass die Ableitung einer Integralfunktion wieder die Integrandenfunktion ist:

\( F^{\prime}_a(x) = ( \int \limits_a^x f(t) \ dt)^{\prime} = f(x) \).

aus der Merkhilfe

Im Folgenden müssen wir unterscheiden zwischen dem

  • bestimmten Integral \( \int \limits_a^b f(x) \ dx = F(b)-F(a) \in \mathbb{R}  \) (reelle Zahl)
  • unbestimmten Integral \( \int f(x) \ dx = \{F | F^{\prime} = f \}  \) (Menge von Stammfunktionen)
aus der Merkhilfe

 

1.5 Berechnung von Flächeninhalten; Flächen zwischen Funktionsgraphen

Bisher waren die zu berechnenden Flächen durch eine Randfunktion und die x-Achse begrenzt.

Wenn man eine Fläche A berechnen will, die im Intervall \([a, b]\) zwischen den Graphen \(G_f\) und \(G_g\) eingeschlossen ist, dann gilt

\( A = \int \limits_a^b f(x) \ dx \ –  \int \limits_a^b g(x) \ dx =  \int \limits_a^b f(x)-g(x) \ dx\).

Dabei sollte \(G_f\) im Intervall \([a, b]\) oberhalb von \(G_g\) verlaufen, ansonsten muss man die Flächenberechnung entsprechend der Teilflächen aufteilen.

In der Praxis ist es vorteilhaft ein Integral der Differenzfunktion \(f(x) – g(x)\) statt zwei Integrale und dann deren Differenz zu berechnen.

 

1.6 Anwendung der Differential- und Integralrechnung

In diesem Kapitel sollen die Kenntnisse der 11. und 12. Jahrgangsstufe im Sachzusammenhang angewendet werden.

Bei den Anwendungsaufgaben muss in der Regel die Funktion, mit der man die Aufgabenstellung lösen kann, selbst aufgestellt werden.

M12.1 Fortführung der Infinitesimalrechnung

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