Wir haben ganzrationale Funktionen als Funktionen, deren Funktionsterme Polynome sind, kennengelernt:

\(f(x)= a_n\cdot x^n + a_{n-1} \cdot x^{n-1} + … +a_1 x + a_0\)

Es handelt sich also um Summen von Potenzen (mit Exponenten aus \(\mathbb{N}_0\)) derselben Variablen mit zugehörigen Koeffizienten.

Die höchste auftretende Potenz der Variable bezeichnet man als Grad der Funktion, den zugehörigen Koeffizienten als Leitkoeffizienten.

Der Grad der Funktion und der Leitkoeffizient (bzw. sein Vorzeichen) geben Aufschluss über den typischen Verlauf des Funktionsgraphen \( G_f \), aus welchen Quadranten der Graph kommt und in welchem er „endet“.

Um den Graphen \( G_f \) genauer skizzieren zu können, ist das Bestimmen der Nullstellen der Funktion wichtig. Eine ganzrationale Funktion vom Grad n kann n verschiedene Nullstellen haben und lässt sich dann in der Form

\( f(x) = a_n \cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2) \cdot … \cdot (x-x_n) \)

darstellen. Dabei sind \(x_1\) bis \(x_n\) die Nullstellen.

Wenn man also eine Nullstelle \(x_1\) kennt, dann kann man \(f(x)\) wie folgt darstellen:

\( f(x) = (x-x_1) \cdot g(x) \),

wobei \( g(x) \) eine ganzrationale Funktion vom Grad n-1 ist.

Die Funktion \(g(x)\) erhält man durch Polynomdivision \( g(x) = f(x) : (x-x_1) \). Auf diese Weise kann man \(f(x)\) immer weiter faktorisieren.

Dabei kann eine ganzrationale Funktion vom Grad n aber weniger als n Nullstellen besitzen.

Beispiel:

\( f(x) = -0,2 \cdot (x+2) \cdot (x-1)^2 \cdot (x^2+1) \)

Die Funktion vom Grad 5 hat 2 verschiedene Nullstellen; die einfache Nullstelle \(x_1 =-2\) und die doppelte Nullstelle \(x_2 = 1\). Der letze Faktor hat keine Nullstelle.

Die Vielfachheit der Nullstelle gibt an, ob die \( x \) -Achse geschnitten (ungerade Vielfachheit; VZW) oder nur berührt wird (gerade Vielfachheit; kein VZW). Je größer die Vielfachheit, desto stärker die Annäherung an Null (an die \( x \) -Achse) in der Umgebung der Nullstelle.

 

 

Vorgehensweise zum Skizzieren des Funktionsgraphen

  • Anhand des Grads der ganzrationalen Funktion sowie des Leitkoeffizienten auf den typischen Verlauf schließen.
  • Den Funktionsterm vollständig faktorisieren. Dazu muss man ggf. Nullstellen durch systematisches Ausprobieren bestimmen und Polynomdivisionen durchführen, bis es keine Nullstellen mehr gibt oder man auf einen „quadratischen Rest“ kommt, den man mittels Vieta oder „Mitternachtsformel“ weiter bearbeiten kann.
  • Wenn man die Nullstellen hat, kann man unter Berücksichtigung des typischen Verlaufs sowie der Vielfachheit der Nullstellen den Graphen (grob) skizzieren.

 

M10.1 Ganzrationale Funktionen

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