0 Gewinnbringendes Vorwissen

Schwerpunkt der Q11-Mathematik ist Analysis. Dabei sollte man auf einiges Vorwissen zurückgreifen können.

Um die Steigungen von Graphen nicht-linearer Funktionen ermitteln zu können, sollte man wissen, wie man die Steigung \(m = \frac{ \Delta y}{\Delta x} \) für lineare Funktionen (aus der 8. Jgs.) berechnet.

Für das Bestimmen von Nullstellen sollte man nicht nur quadratische Gleichungen (Mitternachtsformel, 9. Jgs.) lösen können, sondern auch Funktionen faktorisieren können (vgl. ganzrationale Funktionen, 10. Jgs.).

Dabei wird die Vielfachheit der Nullstellen wichtig sein, also ob es sich um eine Nullstelle ungerader Ordnung handelt, an der die x-Achse geschnitten wird (Nullstelle mit VZW), oder um eine Nullstelle gerader Ordnung, an der die x-Achse berührt wird (Nullstelle ohne VZW).

 

1 Fortführung der Funktionenlehre

Nachdem in der 10. Jgs. ausgiebig ganzrationale Funktionen besprochen wurden, betrachtet man in der Q11 gebrochenrationale Funktionen \( f(x) \), also den Quotienten \( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \)aus zwei ganzrationale Funktionen \( p(x) \) und \( q(x) \).

Dabei kann man die ganzrationalen Funktionen faktorisieren, um die Nullstellen zu bestimmen. Nun sind die Nullstellen des Zählers die Nullstellen der gebrochenrationalen Funktion und die Nullstellen des Nenners die sogenannten Definitionslücken der ganzrationalen Funktion.

Für das Verhalten an diesen Definitionslücken muss man zunächst schauen, ob sich bei den faktorisierten Funktionen im Zähler und Nenner „Nullstellen rauskürzen“ lassen.

Wenn sich eine Definitionslücke \( x_0 \) nicht vollständig aus dem Nenner kürzt, dann spricht man von einer Polstelle. An ihr geht der Graph der gebrochenrationalen Funktion gegen \( – \infty \) bzw. \( + \infty \). Dabei hängt es von der Vielfachheit der Polstelle ab, ob die Grenzwerte für \( x \rightarrow x_0 ^-\) und für \( x \rightarrow x_0 ^+\) übereinstimmen oder sich im Vorzeichen unterscheiden (mit/ohne VZW).

Kürzt sich eine Definitionslücke \( x_0 \) aber vollständig aus dem Nenner heraus, so kann man mit der gekürzten Funktion \( \overset{\scriptscriptstyle \land} f (x_0) \) berechnen. Man bezeichnet \( x_0 \) dann als stetig hebbare Lücke, da man den Graphen \( G_f \) mit dem Punkt \( (x_0/\overset{\scriptscriptstyle \land} f (x_0) ) \) stetig ergänzen kann. Diese Erkenntnis ist wichtig für das nächste Kapitel …

Der Vollständigkeit halber sei hier noch auf die Grenzwertbetrachtung an den Rändern des Definitionsbereichs verwiesen.

 

2 Differentialrechnung

Steigung, Ableitung

Während es bei linearen Funktionen für den „Differenzenquotienten“ \( m = \frac{ \Delta y}{ \Delta x} = \frac{f(x_2) – f(x_1)}{x_2 – x_1} \) egal ist, wie groß man das Steigungsdreieck wählt, stellt man für nicht-lineare Funktionen fest, dass aus einer Sekantensteigung eine Tangentensteigung wird, wenn man das Steigungsdreieck immer kleiner macht.

Das „Kleinmachen des Steigungsdreiecks“ realisiert man mit dem sogenannten Differentialquotienten:

\( \lim\limits_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2 – x_1} \).

Wie man sieht, werden für \( x_2 = x_1 \) sowohl der Zähler \( f(x_2) – f(x_1) \) als auch der Nenner \( x_2 – x_1 \) gleich Null. Somit haben wir den Fall einer stetig hebbaren Lücke und können mittels kürzen den Grenzwert und damit die Steigung berechnen.

Bei der \(h\)-Methode wählt man \(h\) als Differenz der beiden \(x\)-Werte. Somit gilt für die Steigung \(m\) an der Stelle \(x\)

\( m = f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\).

Dabei bezeichnet man \(f'(x)\) als die Ableitung von \(f(x)\).

Merkhilfe
aus der Merkhilfe

Um die Ableitung nicht jedesmal mittels dieses Differentialquotienten bestimmen zu müssen, werden die Ableitungsregeln erarbeitet. Dabei steht zunächst nur die „Grundfunktion“ \( f(x) = x^n \) zur Verfügung. In den folgenden Kapiteln kommen weitere Grundfunktionen sowie Ableitungsregeln hinzu.

aus der Merkhilfe

Monotonie, Extrema

Bei einer positiven Steigung ( \(f'(x)>0\) ) steigt der Graph \(G_f\), bei einer negativen Steigung ( \( f'(x)<0 \) ) fällt der Graph \(G_f\).

Von besonderem Interesse sind die Stellen mit waagrechter Tangente, also der Steigung Null ( \( f'(x)=0 \) ). Bei diesen Stellen kann es sich um Extremstellen handeln, d.h. bei dem zugehörigen Punkt handelt es sich um einen Hochpunkt (HOP) oder einen Tiefpunkt (TIP); es kann sich aber auch um einen Terrassenpunkt (TEP) handeln (vgl. Abbildung).

Für eine Extemstelle muss es sich um eine Nullstelle der Ableitung \(f'(x) \) mit VZW handeln, wobei der Vorzeichenwechsel bei einem HOP von + nach – und für ein TIP von – nach + sein muss. Liegt eine Nullstelle ohne VZW vor, handelt es sich um einen TEP.

Die Art des Extremums lässt sich ggf. mithilfe der zweiten Ableitung \( f^{\prime \prime} (x) \) bestimmen.

Merkhilfe
aus der Merkhilfe

Um die wichtigen Nullstellen einer Funktion \(f\) zu bestimmen bzw. anzunähern, wenn es sich um eine unschöne Nullstelle handelt, lernt man die iterative Annäherung von Newton kennen:

aus der Merkhilfe

 

3 Koordinatengeometrie im Raum

Bei der analytischen Geometrie wird nicht mehr mit Zirkel und Lineal konstruiert, sondern es wird mithilfe von Koordinaten gerechnet.

Zunächst wird im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem mit der \(x_1-, x_2-\) und \(x_3-\)Achse sowie den zugehörigen Koordinatenebenen (\(x_1x_2-, x_1x_3-\) und \(x_2x_3-\)Ebene) der Raum in 8 Oktanten unterteilt.

Mithilfe von zwei Punkten \(A(a_1/a_2/a_3)\) und \(B(b_1/b_2/b_3)\) kann man den Vektor \( \overrightarrow{AB} \) angeben.

Durch die Koordinaten des Vektors \( \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} b_1 – a_1 \\ b_2 – a_2 \\ b_3 – a_3 \end{pmatrix} \) (Spaltenschreibweise) kann man die Länge, Richtung und Orientierung des Vektorpfeils genau angeben, ohne bestimme Anfangs- und Endpunkte zu haben.

Der Gegenvektor hat die gleiche Länge und Richtung, aber die andere Orientierung, d.h. seine Koordinaten haben jeweils das andere Vorzeichen. Somit ist \( \overrightarrow{BA} \) = – \( \overrightarrow{AB} \) der Gegenvektor von \( \overrightarrow{AB} \).

Vektoren lassen sich addieren (und auch subtrahieren), indem man die entsprechenden Koordinaten addiert (subtrahiert).

\( \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 + b_1 \\ a_2 + b_2 \\ a_3 + b_3 \end{pmatrix} \)

Die Länge und ggf. auch die Orienterung eines Vektors kann man mit der Skalarmultiplikation verändern. Dabei multipliziert man einen Skalar (eine Zahl) mit einem Vektor; dadurch wird jede Koordinate des Vektors mit dem Skalar multipliziert. Ist die Zahl negativ, so ändert sich die Orientierung des Vektors.

\( r \cdot \overrightarrow{V} =  r \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot v_1 \\ r \cdot v_2 \\ r \cdot v_3 \end{pmatrix} \)

Damit kann man den Mittelpunkt \(M\) einer Strecke \(AB\) bzw. den Schwerpunkt \(S\) eines Dreiecks \(ABC\) bestimmen:

aus der Merkhilfe

Den Betrag des Vektors, die Länge des Vektorpfeiles, berechnet man mithilfe von Pythagoras. Da alle drei Koordinatenachsen jeweils senkrecht aufeinander stehen, kommt man durch zweimaliges Anwenden des Satzes von Pythagoras auf \( | \overrightarrow{AB} |  = \sqrt{(b_1 – a_1)^2 + (b_2 – a_2)^2 + (b_3 – a_3)^2} \).

Damit kann den Abstand zweier beliebiger Punkte im Raum berechnen – und die Menge aller Punkte \( X(x_1/x_2/x_3) \) abgeben, die auf einer Kugel \(K\) um den Mittelpunkt \( M(m_1/m_2/m_3) \) mit dem Radius \(r\) liegen:

\( K: | \overrightarrow{X} – \overrightarrow{M} | = r \) bzw.

\( K: (x_1 – m_1)^2 + (x_2 – m_2)^2 + (x_3 – m_3)^2 = r^2 \).

Bei der Berechnung des Winkels \(\varphi\) zwischen zwei Vektoren \(\overrightarrow{a}\) und \(\overrightarrow{b}\) kommt man auf eine Rechenoperation \( a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 + a_3 \cdot b_3\), die man als Skalarprodukt \( \overrightarrow{a} \circ \overrightarrow{b} \) bezeichnet, da ihr Ergebnis ein Skalar (Zahl) ist:

aus der Merkhilfe

Eine Multiplikation zweier Vektoren, deren Ergebnis ein Vektor ist, ist das sogenannte Vektorprodukt (oder auch Kreuzprodukt):  \( \overrightarrow{v} = \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \).

Diese Rechenoperation ist auch in der Physik wichtig. Ihr Ergebnis ist ein Vektor \( \overrightarrow{v}\), der jeweils zu den beiden Vektoren  \( \overrightarrow{a}\) und \( \overrightarrow{b}\) senkrecht ist. Dabei gibt sein Betrag aber auch noch den Flächeninhalt des von \( \overrightarrow{a}\) und \( \overrightarrow{b}\) aufgespannten Parallelogramms an:

aus der Merkhilfe

Durch die Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt kann man das Volumen eines von drei Vektoren aufgespannten Spats (Prisma, dessen sechs Seiten jeweils paarweise gegenüberliegende kongruente Parallelogramme sind) berechnen.

 

4 Weitere Ableitungsregeln

Zunächst lernt man die letzte Ableitungsregel, die Kettenregel, kennen.

aus der Merkhilfe

Sie lässt sich zunächst bei Verkettung von ganz- bzw. gebrochenrationalen Funktionen durch die Produkt- oder Quotientenregel umgehen. Allerdings ist das nicht mehr möglich, wenn andere Funktionen wie die Sinus- oder Kosinusfunktion beteiligt sind.

Indem man die Sinusfunktion (und später die Kosinusfunktion) graphisch differenziert kommt man auf die Ableitung weiterer Grundfunktionen.

aus der Merkhilfe

Anschließend weist man mittels der Kettenregel noch nach, dass obige Ableitung einer Potenz (auch als Potenzregel bekannt) auch für rationale Exponenten \(r\) gilt.

 

5 Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion

Um die noch fehlenden Grundfunktionen, die man als Wachstums- und Logarithmusfunktion aus der 10. Jahrgangsstufe kennt, geht es in Kapitel 5.

Durch die Betrachtung des Differentialquotienten einer Wachstumsfunktion \( f(x) = b^x; b \in \mathbb{R}^+\setminus\{1\}\) kommt man zu der Erkenntnis, dass es eine bestimmte Basis \(b\) geben muss, für die die Funktion \(f(x)\) mit ihrer Ableitungsfunktion \(f^{\prime}(x)\) identisch ist.

\( f^{\prime}(x) = \mathop{\lim}\limits_{h\to 0} \frac{f(x+h)-(f(x)}{h} = \mathop{\lim}\limits_{h\to 0} \frac{b^{x+h}-b^x}{h} = \mathop{\lim}\limits_{h\to 0} \frac{b^x \cdot (b^h-1)}{h} = b^x \cdot \mathop{\lim}\limits_{h\to 0} \frac{b^h-1}{h} = f(x) \cdot \mathop{\lim}\limits_{h\to 0} \frac{b^h-1}{h} \)

Die Eulersche Zahl \(e \approx 2,71828 …\) erfüllt die Bedingung \(\mathop{\lim}\limits_{h\to 0} \frac{b^h-1}{h}=1\) an die Basis \(b\).

Die Funktion \(f(x) = e^x = \exp(x)\) bezeichnet man als natürliche Exponentialfunktion.

Die zugehörige Umkehrfunktion \(f^{-1}(x) = \log_e(x) = \ln(x) \) nennt man natürliche Logarithmusfunktion.

aus der Merkhilfe

Wie man bei den Ableitungen der Grundfunktionen erkennen kann, sind die Ableitungen von Wachstumsfunktionen bzw. Logarithmusfunktionen für die Basis \(e\) am einfachsten (da \(\ln e= 1\) ).

Es ist durchaus sinnvoll, die Graphen dieses Pärchens von Funktion und Umkehrfunktion zu kennen. Dabei bekommt man den jeweils anderen Graphen, indem man \(x-\) und \(y-\)Wert vertauscht.

Wichtig im Hinblick auf’s Ableiten: Die Exponentialfunktion hat keine Nullstelle!

 

6 Der Wahrscheinlichkeitsbegriff

Zu Beginn stellt man fest, dass man sich schwer tut, „Wahrscheinlichkeit“ zu definieren, und lernt das Axiomensystem der Wahrscheinlichkeitstheorie von Kolmogorow kennen.

Kolmogorow legt mittels drei Axiomen fest, wann eine Funktion \(P\), die jeder Teilmenge \(E\) einer (endlichen) Ergebnismenge \(\Omega\) eine reelle Zahl \(P(E)\) zuordnet, eine Wahrscheinlichkeitsfunktion ist.

Wie bei den Axiomen von Newton, die die Grundlage der klassischen Mechanik sind, lassen sich aus den Axiomen von Kolmogorow Nichtnegativität, Normiertheit und Additivität weitere Gesetzmäßigkeiten der Wahrscheinlichkeitsrechnung ableiten.

Die ausgiebige Wiederholung der Vierfeldertafel und der bedingten Wahrscheinlichkeit ermöglichen es, die stochastische Unabhängigkeit zweier Ereignisse zu definieren. Man kann diese so formulieren, dass bei Unabhängigkeit von \(A\) und \(B\) die Bedingung \(A\) keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von \(B\) hat: \(P_A(B) = P(B)\).

Wenn man diesen Zusammenhang bruchfrei darstellt, kommt man auf \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)\).

aus der Merkhilfe

7 Anwendungen der Differentialrechnung | Optimieren und Modellieren

Die Aufgabenstellungen sind (ohne Verwendung der Ableitung) bereits vertraut:

  • Extremwertaufgaben (9. Jgs.): Finden des Scheitelpunkts
  • Modellieren (10.  Jgs.): Modellieren von Wachstum

Bei den Extremwertaufgaben gilt es einen optimalen Wert – einen Extremwert – zu finden.

Dabei muss zunächst aus der Zielgröße (vorzugsweise eine Fläche oder ein Volumen) und von Nebenbedingung(en) (gerne Zaunlänge) eine Zielfunktion erarbeitet werden. Für diese Zielfunktion findet man den optimalen Wert mittels Ableiten.

Beim Modellieren sucht man eine Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften, z.B. ein Polynom dritten Grades: \(f(x) = ax^3+bx^2+cx+d\). Dabei handelt es sich um eine Funktionenschar bzw. bei den Graphen um eine Kurvenschar, da die Funktion neben der Variablen \(x\) noch Parameter (\(a, b, c\) und \(d\)) enthält.

Diese Parameter gilt es beim Modellieren zu bestimmen. Dazu benötigt man für jeden Parameter eine Eigenschaft, um eine Gleichung aufstellen und dann lösen zu können.

Mathematik-Rückblick für die Q12

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