Aufgabe

Gegeben ist die reelle Funktion \( f: x \mapsto \frac{3x}{4x+2} \), \( x \in D_{f, max} \).

Wie viele zur Geraden \( g: y + 6x – 4 = 0 \)  senkrechte Tangenten kann man an den Graphen der Funktion \( f \) legen?

Berechnen Sie die Koordinaten der zugehörigen Berührpunkte.

 

Lösung

Die Gerade \( g: y = -6 x +4 \) hat die Steigung \( m_g = -6 \).

Da diese Gerade senkrecht zur Tangente sein soll, muss die Tangentensteigung \(m_f = -\frac{1}{m_g} = \frac{1}{6} \) sein.

Gesucht sind die Punkte \( P(x/f(x)) \) mit \( f´(x) = \frac{1}{6} \) .

\( f´(x) = \frac{(4x+2) \cdot 3 – 3x \cdot 4}{(4x+2)^2} = \frac{6}{(4x+2)^2} = \frac{1}{6} \)

\( \Rightarrow (4x+2)^2 = 36 \)

\( \Rightarrow 4x+2 = \pm 6 \)

\( \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 1 \)

 

\( f(x_1) = f(-2) = 1 \) und \( f(x_2) = f(1) = \frac{1}{2} \) .

 

Somit gibt es zwei Tangenten, die senkrecht zur Geraden \( g \) verlaufen. Die Berührpunkte der beiden Tangenten mit \( G_f \) sind \( P_1(-2/1) \) und \( P_2(1/ \frac{1}{2}) \) .

Tangente und Normale

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