Ganzrationale Funktionen

Für ganzrationale Funktionen \( f(x)= a_n x^n + … + a_1 x + a_0 \) sind die Grenzwerte \( \mathop{\lim}\limits_{x \to\pm \infty} f(x) \) durch den typischen Verlauf der Funktionsgraphen aus der 10. Jahrgangsstufe bekannt:

  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to\pm \infty} f(x) = \pm \infty \) für \( n \) ungerade und \( a_n > 0\).
  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to\pm \infty} f(x) = \mp \infty \) für \( n \) ungerade und \( a_n < 0\).
  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to\pm \infty} f(x) = + \infty \) für \( n \) gerade und \( a_n > 0\).
  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to\pm \infty} f(x) = – \infty \) für \( n \) gerade und \( a_n < 0\).

 

Gebrochenrationale Funktionen

Für gebrochenrationale Funktionen \( f(x)= \frac{a_n x^n + … + a_1 x + a_0}{b_m x^m + … + b_1 x + b_0}\) lassen sich einige Grenzwerte \( \mathop{\lim}\limits_{x \to\pm \infty} f(x) \) durch die Asymptoten ableiten:

  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to\pm \infty} f(x) = 0 \) für \( n < m \) ( \(x\)-Achse ist Asymptote)
  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to\pm \infty} f(x) = \frac{a_n}{b_m} \) für \(  n = m \) ( \( y = \frac{a_n}{b_m} \) ist Asymptote)
  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to\pm \infty} f(x) = \pm \infty \) bzw. \( \mp \infty\) für \( n = m+1 \) (je nach Vorzeichen der Steigung der schrägen Asymptote)

Für die Fälle mit \( n > m+1 \) betrachte den typischen Verlauf von \( \frac{a_n}{b_m} x^{n-m} \).

Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion

Für die natürliche Exponentialfunktion \( f(x) = e^x \) gilt \( \mathop{\lim}\limits_{x \to – \infty} f(x) = 0 \) und \( \mathop{\lim}\limits_{x \to + \infty} f(x) = + \infty \).

Dabei wächst die natürliche Exponentialfunktion so stark bzw. nähert sich der \(x \)-Achse so schnell, dass sie bei Grenzwertbetrachtungen „immer gewinnt“:

  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to – \infty} (a_n x^n + … + a_1 x + a_0) \cdot e^x = 0 \) ( \( e^x \) gewinnt)
  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to + \infty} \frac{a_n x^n + … + a_1 x + a_0}{e^x} = 0 \) ( \( e^x \) gewinnt)
  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to + \infty} \frac{e^x}{a_n x^n + … + a_1 x + a_0} = + \infty \) bzw. \(- \infty \) ( \( e^x \) gewinnt)

Für die Umkehrfunktion, die natürliche Logarithmusfunktion, \( f(x) = \ln (x) \) gilt dementsprechend \( \mathop{\lim}\limits_{x \to 0} f(x) =  -\infty \) und \( \mathop{\lim}\limits_{x \to + \infty} f(x) = + \infty \).

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion wächst dabei so schwach, dass sie bei Grenzwertbetrachtungen „immer verliert“:

  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to 0} \sin(x) \cdot \ln(x) = 0 \) ( \( \ln(x) \) verliert)
  • \( \mathop{\lim}\limits_{x \to + \infty} \frac{ \ln(x)}{x^n} = 0 \) ( \( \ln(x) \) verliert)
Grenzwerte

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