Aufgabe

Die Abbildung zeigt den Graphen \( G_f \) der Funktion \( f: f(x) = x + 1 + e^{1-x} \) ; \( D_f = \mathbb{R} \), und seine Asymptote \( g: y = x + 1 \).

Die Gerade \(h\) mit der Gleichung \( x = a\); \( a > 0 \), schneidet \( G_f \) im Punkt \( A \) und die Gerade \( g \) im Punkt \( I \). Die Punkte \(A\), \(R(0/1)\) und \(I\) sind die Eckpunkte des Dreiecks \(RIA\).

Ermitteln Sie denjenigen Wert \(a*\) von \(a\), für welchen der Flächeninhalt des Dreiecks \(RIA\) Extremfall wird. Finden Sie Art und Wert dieses Extremums heraus.

 

Ändert sich an den Ergebnissen der Extremwertaufgabe etwas, wenn der Punkt \(R\) eine andere Lage auf der \(y\)-Achse einnimmt?


Lösung

Bei Extremwertaufgaben muss man zunächst die gesuchte Größe als Funktion einer Variablen darstellen und dann mittels 1. Ableitung deren Extremum bestimmen.

Hier ist die gesuchte Größe der Flächeninhalt eines Dreiecks, bei dem glücklicherweise eine Seite parallel zur \(y\)-Achse verläuft. Somit lässt sich die zugehörige Höhe leicht bestimmen.

Flächeninhalt: \(A = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h \)

Grundseite: \(g = f(a) – g(a) \)

Höhe: \(h = a – 0  = a\)

\(A(a) = \frac{1}{2} \cdot ((a+1+e^{1-a})-(a+1)) \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a \cdot e^{1-a} \)

Ableiten mittels Produkt- und Ketternregel:

\(A'(a) = \frac{1}{2} \cdot e^{1-a} + \frac{1}{2} \cdot a \cdot e^{1-a} \cdot (-1) = \frac{1}{2} (1-a) e^{1-a} = 0 \)

\( \Rightarrow a =1 \)

Offensichtlich handelt es sich um eine einfache Nullstelle mit VZW von + nach -. Somit handelt es sich um ein Maximum. Der maximale Flächeninhalt beträgt:

\(A(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot e^{1-1} = \frac{1}{2} \).

 

Wenn der Punkt \(R\) auf der \(y\)-Achse verschoben wird, dann ändert sich die Dreieckshöhe \(h\) nicht. Somit ändert sich auch der Flächeninhalt des Dreiecks \(RIA\) nicht.

Solange der Punkt \(R\) auf der \(y\)-Achse verschoben wird, ändert sich nichts an den Ergebnissen der Extremwertaufgabe.

Extremwertaufgabe

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