Aufgabe

Aus einem runden Stamm mit 30 cm Durchmesser soll ein Balken mit rechteckiger Querschnittsfläche gefertigt werden.

Die Tragfähigkeit eines Holzbalkens mit rechteckiger Querschnittsfläche ist proportional zur Breite \(b\) und zum Quadrat der Höhe \(h\) des Balkens.

Für welche Maße wird die Tragfähigkeit des Balkens möglichst groß?


Lösung

Tragfähigkeit: \(T \sim b \cdot h^2\)

Zusammenhang zwischen Breite \(b\) und Höhe \(h\):

\(h^2 + b^2 = d^2 = 30^2 = 900 \)

\( \Rightarrow h^2 = 900 – b^2\)

\( \Rightarrow T(b) = c \cdot b \cdot (900 – b^2) = c \cdot (900b – b^3) \)

Der Proportionalitätsfaktor \(c\) fällt spielt für die Extremstelle keine Rolle.

\( T'(b) = c \cdot (900 – 3b^2) = 0 \)

\( \Rightarrow 900 – 3b^2 = 0 \)

\(  \Rightarrow 3b^2 = 900 \)

\( \Rightarrow b^2 = 300 ( \Rightarrow h^2 =  600)  \)

\( \Rightarrow b = 10\sqrt{3} \); \(h = 10 \sqrt{6} = \sqrt{2} \cdot b \)

Die negative Lösung für b ist im Sachzusammenhang zu verwerfen.

Extremwertaufgabe 2

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